A variation on the tableau switching and a Pak-Vallejo’s conjecture

Pak and Vallejo have defined fundamental symmetry map as any Young tableau bijection for the commutativity of the Littlewood-Richardson coefficients cμ,ν = cν,μ. They have considered four fundamental symmetry maps and conjectured that they are all equivalent (2004). The three first ones are based on standard operations in Young tableau theory and, in this case, the conjecture was proved by Danilov and Koshevoy (2005). The fourth fundamental symmetry, given by the author in (1999;2000) and reformulated by Pak and Vallejo, is defined by nonstandard operations in Young tableau theory and will be shown to be equivalent to the first one defined by the involution property of the Benkart-Sottile-Stroomer tableau switching. The proof of this equivalence provides, in the case the first tableau is Yamanouchi, a variation of the tableau switching algorithm which shows switching as an operation that takes two tableaux sharing a common border and moves them trough each other by decomposing the first tableau into a sequence of tableaux whose sequence of partition shapes defines a Gelfand-Tsetlin pattern. This property leads to a jeu de taquin-chain sliding on Littlewood-Richardson tableaux. Résumé. Pak et Vallejo ont défini la transformation de la symétrie fondamentale comme une bijection de tableaux de Young pour la comutativité des coefficients de Littlewood-Richardson cμ,ν = cν,μ. Ils ont considéré quatre bijections fondamentaux et ont conjecturé qu’elles sont équivalentes (2004). Les trois premières sont basées sur des opérations standard de la théorie des tableaux de Young et, dans ce cas, la conjecture a été confirmée par Danilov et Koshevoy (2005). La quatrième symétrie fondamentale, donnée par l’auteur (1999;2000) et reformulée par Pak et Vallejo, est définie par des opérations nonstandard dans la théorie des tableaux de Young. Cette bijection sera montrée équivalente à la première définie pour la propriété involutoire du tableau switching de Benkart-Sottile-Stroomer. La preuve de cette equivalence, dans le cas le premier tableau est de Yamanouchi, donne une variation du algorithme de tableau switching qui montre switching comme une opération qui prendre deux tableaux avec une même borde et meut un à travers de l’autre en décomposant le premier dans une séquence de tableaux dont la séquence des partitions des formats definit une diagramme de Gelfand-Tsetlin. Cette propriété conduit à un algorithme du type jeu de taquinglissements sur chaı̂nes pour les tableaux de Littlewood-Richardson.